\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}

\begin{document}

	\section{一维谐振子}
	\footnote{本文是Griffiths, et al. 《量子力学导论》的笔记。}
	谐振子的意思是，粒子处于抛物线势阱中  
	$$V(x) = 1/2 k x^2 = 1/2 m \omega^2 x^2$$
	其中 $\omega = \sqrt{k/m}$。或者按照经典力学的话术说，粒子受到一个回复力 
	$$F = - kx$$
		
	\section{经典力学情况}
	或许很多小伙伴和我一样，还没有搞清楚经典力学中的谐振子就试图弄明白量子谐振子，因此我们先简要回顾经典力学中的谐振子问题。
	
	对于经典力学，粒子的动力学规律由牛顿第二定律描述
	$$
	F = ma = m \pdv[2] {x}{t}
	$$
	对于谐振子，粒子所受力是回复力：
	$$
	F = - \pdv{V}{x} = -kx
	$$
	联立以上二式，我们有
	$$
	m  \pdv[2] {x}{t} = -kx \Rightarrow \pdv[2] {x}{t} = - \frac{k}{m} x
	$$
	这是一个一阶ODE（常微分方程）。根据数学知识，他的解（暂且忽略一些钻牛角尖的特殊情况）是
	$$
	x = A \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t) + B \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)
	$$
	你可以把这个解代回原方程检验。其中$A, B$是常数。或者写为更紧凑的形式，
	$$
	x = A \cos(\omega t +\varphi_0)
	$$
	其中 $A$是振幅（不是上一式的$A$），$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$，$\varphi_0$是初始相位。
	
	$A$, $\varphi_0$由初始条件确定。
	如果没有额外的条件，我们无法进一步确定这两个量。正如落体运动中，虽然我们知道粒子垂直方向上受重力、水平方向上不受力，但如果我们不知道初始速度，我们无法分析他是平抛、斜抛还是自由落体。
	
	谐振子的能量（机械能）是势能与动能之和。如果你偷懒的话，只需要求解谐振子最远处的势能（此时振子速度为零、动能为零），就能得到系统的机械能：
	$$
	E = 1/2 k A^2
	$$
	
	\section{量子力学情况}
	在量子力学中，粒子的动力学规律由薛定谔方程描述：
	$$
	i \hbar \pdv{\Psi}{t} = \hat H \Psi 
	$$
	其中 $\hat H = \hat T + \hat V = \frac{\hat p^2}{2m} + V  = - \frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{}{x}  + V $ 是哈密顿算符，代表系统的能量，具体而言，前一项代表动能，后一项代表势能。或者写为展开的形式：
	$$
	i \hbar \pdv{\Psi}{t} = \frac{\hat p^2}{2m}\Psi + V\Psi =  - \frac{\hbar^2}{2m}  \pdv[2]{}{x} \Psi + V \Psi
	$$
	对于谐振子，势能是 
	$$V = 1/2 m \omega^2 x^2$$
	同样联立以上二式，
	$$
	i \hbar \pdv{\Psi}{t} = - \frac{\hbar^2}{2m}  \pdv[2]{}{x} \Psi + 1/2 m\omega^2x^2 \Psi
	$$
	这是一个PDE（偏微分方程），PDE的求解比ODE烦人多了。
	
	\subsection{初步分解薛定谔方程}
	我们先简要论述一下如何处理薛定谔方程。这个处理方法具有一定的拓展性，可以推广到大量其他形式的问题。
	如果你熟悉的话，可以跳过这部分。
	
	我们上文提到，薛定谔方程
	$$
	i \hbar \pdv{\Psi}{t} = \hat H \Psi 
	$$
	套用数学物理方法中关于PDE求解的本征函数法，我们可以把$\Psi$展开为一组本征函数的线性组合：
	$$
	\Psi =\sum_n c_n \Psi_n
	$$
	其中，$\Psi_n$是本征函数，$c_n$是系数。代回，这就使问题转换为求解本征函数的薛定谔方程：
	$$
	i \hbar \pdv{\Psi_n}{t} = \hat H \Psi_n
	$$
	进一步地，我们根据分量变量法， 令本征函数分解为两部分，
	$$\Psi_n(x,t) = \varphi_n(x) T_n(t)$$
	因此，
	$$
	i \hbar \varphi_n \pdv{T_n}{t} = T_n \hat H \varphi_n
	$$
	两边同时除以$\Psi_n = \varphi_n T_n$
	$$
	i \hbar \pdv{T_n}{t} /T_n = \hat H \varphi_n /\varphi_n
	$$
	现在，方程左侧只与$T_n$有关，而右侧只与$\varphi_n$有关。我们可以令两侧都等于一个常数 $E_n$
	$$
	i \hbar \pdv{T_n}{t} /T_n = \hat H \varphi_n /\varphi_n = E_n
	$$
	那么这个PDE被分解为两个ODE：
	$$
	\left \{
	\begin{aligned}
		i \hbar \pdv{T_n}{t} &= E_n T_n \\
	 	\hat H \varphi_n &= E_n \varphi_n 
	\end{aligned}
	\right.
	$$
	第一个ODE的解是显然的(暂且略去系数，你以后会发现，这个系数是无所谓的)
	$$
	i \hbar \pdv{T_n}{t} = E_n T_n \Rightarrow \pdv{T_n}{t} = - i/\hbar E_n T_n \Rightarrow T_n = e^{- i/\hbar E_n t}
	$$
	因此，问题的精髓在于第二个ODE 
	$$\hat H \varphi_n = E_n \varphi_n $$
	即求解薛定谔方程的核心是求解$\hat H$的本征函数。
	
	从更正统的量子力学语言，Dirac语言，出发，我们能更好地理解这一点：（参考Cohen《量子力学》，或者任何一本你喜欢的量子力学课本）
	在Dirac语言中，某一时刻系统的状态由向量空间中的ket，$\ket{\varphi}$，描述。
	由于$\hat H$对应可观测量能量、是观测算符，因此$\hat H$对应的全体本征向量
	$$\{ \ket{\varphi_n} \} \quad \text{such that} \quad \hat H \ket {\varphi_n} = E_n \ket {\varphi_n}$$
	可构成向量空间的一组基。
	因此，$\ket{\varphi}$必然能由$\ket {\varphi_n}$线性组合得到
	$$
	\ket{\varphi} = \sum_n c_n \ket {\varphi_n}
	$$
	根据Dirac语言，$\hat H$的本征函数具有更深刻的物理含义；而在我们之前的描述中，我们似乎是从肤浅的数学工具的角度才引入了本征函数。
	
	对比一下，Dirac中$\ket {\varphi_n}$对应的角色类似于我们上文说的$$\varphi_n  \quad \text{such that} \quad  \hat H \varphi_n = E_n \varphi_n $$
	而Dirac中的$c_n$则包括我们上文说的$c_n$与$T_n$。

	\subsection{几个结论}	
	·总而言之，问题的关键在于求解 $\hat H$的本征函数，即
	$$\hat H \varphi_n = E_n \varphi_n$$
	在谐振子的情况下， 
	$$- \frac{\hbar^2}{2m}  \pdv[2]{}{x} \varphi_n + 1/2 m\omega^2x^2 \varphi_n = E_n \varphi_n $$
	尽管这已经是一个ODE，但是比经典力学情况中的复杂得多，一时半会看不出解。为了求解这个ODE，我们先给出几个结论：
	
	\textbf{结论1}: 我们可以如此改写$\hat H$: 
	$$
	\begin{aligned}
		\hat H & = \frac{\hat p^2 }{2m}+ 1/2 m\omega^2x^2 \\
		& = \frac{1}{2m} (\hat p^2 + (m\omega x)^2) \\
		& = \hbar \omega (\hat a_{+} \hat a_{-} + 1/2) \\
		& = \hbar \omega (\hat a_{-} \hat a_{+} - 1/2) \\
	\end{aligned}
	$$
	其中 
	$$
	\begin{aligned}
		\hat a_{+} & = \frac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}} (-i \hat p + m\omega x) \\
		\hat a_{-} & = \frac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}} (i \hat p + m\omega x) \\
	\end{aligned}
	$$
	如果你忘了动量算符的形式：
	$$\hat p = -i \hbar \pdv{}{x}, i \hat p = \hbar \pdv{}{x}$$
	这一步没有什么太好说的---你只需要代回就能证明他的成立；当然，至于为什么能这么分解，可以参考课本。
	
	\textbf{结论2}: 
	$$
	\begin{aligned}
		\hat a_{+} \hat a_{-} & = \frac{ 1 }{\hbar \omega} \hat H - 1/2 \\
		\hat a_{-} \hat a_{+} & = \frac{ 1 }{\hbar \omega} \hat H + 1/2 \\
	\end{aligned}
	$$
	仅仅是改写了结论1.
	
	\textbf{结论3}: 如果已知一个本征解 $\varphi_n$, 使$$\hat H \varphi_n = E_n \varphi_n$$成立，那么 
	$$
	\begin{aligned}
		\hat H (\hat a_{+} \varphi_n) &= (E_n + \hbar \omega)  (\hat a_{+} \varphi_n) \\
		\hat H (\hat a_{-} \varphi_n) &= (E_n - \hbar \omega)  (\hat a_{-} \varphi_n)\\
	\end{aligned}
	$$
	（在合适范围内）也成立。换句话说，各个本征解$\varphi_0, \varphi_1, \varphi_2, ...$满足递推关系：
	$$
	\begin{aligned}
		\varphi_{n+1} &= \hat a_{+} \varphi_n, n=0,1,2,...\\
		\varphi_{n-1} &= \hat a_{-} \varphi_n, n=1,2,3,... \\
	\end{aligned}
	$$
	且相应的能量也满足递推关系：
	$$
	\begin{aligned}
		E_{n+1} &= E_n + \hbar \omega, n=0,1,2,... \\
		E_{n-1} &= E_n - \hbar \omega, n=1,2,3,... \\
	\end{aligned}
	$$
	因此，$\hat a_{+} , \hat a_{-} $ 也被称为升、降阶算符。
	
	\textbf{结论4：} 如果对能量最低的本征解$\varphi_0$再运用降阶梯算符，那就\textsl{什么都没有了}。
	也就是说，$$\hat a_{-} \varphi_0 = 0$$。
	
	\subsection{开始动手吧}	
	根据结论3，我们只需要找到一个本征解，就能推知其他的本征解。
	那么怎么找到一个本征解呢？结论4是一个很好的突破口。根据结论4，
	$$
	\begin{aligned}
		& \hat a_{-} \varphi_0 = 0\\
		\Rightarrow & i \hat p \varphi_0 + m\omega x\varphi_0 =0\\
		\Rightarrow & \hbar \pdv{}{x} \varphi_0 + m\omega x\varphi_0 =0\\
		\Rightarrow & \varphi_0 = A_0 e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}
	\end{aligned}
	$$
	其中$A_0$是归一化系数。根据 $\hat H \varphi_0 = E_0 \varphi_0$，求得其对应的能量本征值（该本征态对应的能量） 
	$$E_0 = 1/2 \hbar \omega$$
	根据结论3的递推关系，我们立刻得到其余本征解：
	$$\varphi_n = A_n (\hat a_{+})^n \varphi_0, n=1,2,3,...$$
	$A_n$是归一化系数，以及本征态对应的能量 
	$$E_{n} = (n+1/2)\hbar \omega$$
	由此，我们论证了量子谐振子中，系统的本征能量是分离取值的。
	
	回过头来，
	$$
	\Psi_n = \varphi_n T_n
	$$
	以及最终系统的波函数
	$$
	\Psi_n = \sum_n c_n \Psi_n
	$$
	其中 $c_n$系数由初始条件确定。
	
	
	比较有意思的是，我们回过头来观察$n=0$时的 $\varphi_0 = A_0 e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}$、$E_0 = 1/2 \hbar \omega$，
	我们发现，在量子谐振子情况下，粒子不能静止不动，而至少具有$E_0 = 1/2 \hbar \omega$这么多的能量。而在经典力学的情况下，始终静止不动的粒子$x=0$可以是一个解。
	
	（你可能会问，$\varphi=0$也是薛定谔方程的一个解，那为什么我们不提这茬？因为$\abs{\varphi}^2$在量子力学中与概率密度有关，恒为$0$的$\varphi$意味着处处发现粒子的概率均为零，即根本不存在粒子。
	对于这个问题，这种说法是无意义的）

    一些示例可以参考隔壁仓库的theVibrator_PDE.m（经典谐振子）和quantumOscillator.m(量子谐振子的各个本征态)

	
\end{document}

